Standardabweichung berechnen - Formeln und Beispiele

Eine Normalverteilung von Daten bedeutet, dass die meisten Beispiele in einem Datensatz nahe am "Durchschnitt" liegen.

Die Standardabweichung ist eine Statistik, die angibt, wie eng alle verschiedenen Beispiele um den Mittelwert in einem Datensatz angeordnet sind. Wenn die Beispiele ziemlich eng zusammengestellt sind und die glockenförmige Kurve steil ist, ist die Standardabweichung klein. Wenn die Beispiele gespreizt sind und die Glockenkurve relativ flach ist, bedeutet dies, dass Sie eine relativ große Standardabweichung haben. Die genaue Formel wird bei den Beispielen beschrieben.

Berechnung

Nehmen wir an, Sie schreiben eine Geschichte über Ernährung. Sie müssen sich den typischen täglichen Kalorienverbrauch der Menschen ansehen. Wie bei den meisten Daten möchte sich die Anzahl der Personen als normalverteilt herausstellen. Das heißt, für die meisten Menschen wird ihr Konsum weit unter dem Durchschnitt liegen.

Die x-Achse (die horizontale Achse) ist der fragliche Wert (beispielsweise verbrauchte Kalorien oder begangene Verbrechen). Die y-Achse (die vertikale Achse) ist die Anzahl der Datenpunkte für jeden Wert auf der x-Achse - mit anderen Worten die Anzahl der Personen, die x Kalorien essen oder die Anzahl der Städte mit x begangenen Verbrechen. Nun haben nicht alle Datensätze Diagramme, die so perfekt aussehen. Einige haben relativ flache Kurven, andere sind ziemlich steil. Manchmal neigt sich der Mittelwert etwas zur einen oder anderen Seite. Alle normal verteilten Daten haben jedoch die gleiche Form der "Glockenkurve".

Beispiel

Ein Beispiel für die Berechnung der Standardabweichung in der Mathematik:

Formel:

SA = √ (∑ (r i - r avg)²) / n – 1)

• r i : die in einer Periode beobachtete Rendite
• r avg : das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen
• n : die Anzahl der Beobachtungen im Datensatz

Ein Anleger möchte die Standardabweichungserfahrung seines Anlageportfolios in den letzten vier Monaten berechnen.

Zahlen:

• Mai / 15%
• Juni / -9%
• Juli / 10%
• August / 6 %

Der erste Schritt ist die Berechnung von Ravg, dem arithmetischen Mittel:

(0,15 – 0,09 + 0,10 – 0,06) / 4 = 0,055

Das arithmetische Mittel der Renditen beträgt 5,5%

Jetzt wenden wir die Formel an: SA = √ (∑ (r i - r avg)²) / n – 1)

SA = √ ∑ ((0.15 – 0.055)² + (0.09 + 0,055)² + (0,10 – 0,055)² +(0.06 – 0,055)²) / 3 = 0,1034

Ergebnis:

Die Standardabweichung der Renditen beträgt 10,34%.

Erklärung:

So weiß der Anleger nun, dass die Renditen seines Portfolios im Monatsvergleich um etwa 10% schwanken. Die Informationen können verwendet werden, um das Portfolio zu ändern, um die Einstellung des Anlegers zum Risiko zu verbessern. Wenn der Anleger risikofreudig und mit einer Anlage in höher risikoreicheren Wertpapieren vertraut ist und eine höhere Standardabweichung tolerieren kann, könnte er in Erwägung ziehen, einige Aktien hinzuzufügen. Umgekehrt mag ein risikoaverser Anleger mit dieser Standardabweichung nicht zufrieden sein und möchte sicherere Anlagen wie Aktien mit hoher Marktkapitalisierung hinzufügen.