Ableitungsregeln - Regeln und Formeln für Ableitungen

Erste Ableitungsregel: Faktorregel bzw. Potenzregel

Ziel der Faktor- und Potenzregel ist die Ableitung einer Funktion wie beispielsweise y = x³, y = 5x⁴ sowie y = 8x. Grundlegend gilt: y = x^z abgeleitet y' = z · x^z-1.

Anleitung Schritt für Schritt:

• 1. Schritt: Aufschreiben der Funktion y = ….
• 2. Schritt: Darunter wird die Ableitung y' = …. notiert
• 3. Schritt: Der Exponent von y wird anschließend hinter der Ableitung y' = …. geschrieben
• 4. Schritt: Das x wird hingeschrieben
• 5. Schritt: Für die Ableitung y' = …. wird der Exponent um genau eins reduziert (der Faktor bleibt dabei immer erhalten!)

Beispiel:

f (x) = y (x) = x³
f' (x) = y' (x) = 3x²

Zweite Ableitungsregel: Summenregel

Bei der Summenregel geht es darum, dass die endliche Summe von mehreren Funktionen schrittweise differenziert werden darf. Zur Veranschaulichung folgen daher einige Beispiele:

1. Beispiel:

f (x) = y (x) = x⁴ + x⁴
f' (x) = y' (x) = 4x³ + 4x³

2. Beispiel:

f (x) = y (x) = 5x + 8x²
f' (x) = y' (x) = 5 + 8 · 2 · x

3. Beispiel:

f (x) = y (x) = 2x⁴ + 11x⁵
f' (x) = y' (x) = 2 · 4x³ + 11 · 5 · x⁴

Dritte Ableitungsregel: Produktregel

Die Produktregel kommt ausschließlich dann zum Einsatz, wenn man eine Funktion in Form eines Produktes vorliegen hat. Die Kurzschreibweise der Produktregel sieht dabei folgendermaßen aus:

f = y = a · b
f' = y' = a' · b + b' · a

Demzufolge lässt sich die Funktion in einen Teil a und in einen weiteren Teil b gliedern. Der betroffene Teil wird anschließend abgeleitet, sodass die Ableitung y' . entsteht. Zum Verständnis der Produktregel folgt ein Beispiel.

Beispiel:

y (x) = ( 8x⁵ - 4x ) ( 6x )

a = 8x⁵ - 4x
a' = 40x⁴ - 4

b = 6x
b' = 6

y' (x) = a' · b + b' · a
y' (x) = ( 40x⁴ - 4 ) ( 6x ) + ( 6 ) ( 8x⁵ - 4x )

Vierte Ableitungsregel: Quotientenregel

Die Quotientenregel wird stets zum Ableiten von Brüchen angewendet. Die Kurzschreibweise dieser Regel lautet dabei wie folgt:

y (x) = a : b

y' (x) = (a' · b - b' · a) : b²

Der Zähler wird als a gekennzeichnet, während der Nenner b benannt wird. Kommt es daraufhin zur Ableitung werden beide abgeleitet und in y' eingesetzt. Zur Verdeutlichung folgt ein Beispiel der Quotientenregel:

y (x) = (3x⁵ + 8) : (2x + 6)

a = 3x⁵ + 8
a' = 15x⁴

b = 2x + 6
b' = 2

y' (x) = (a' · b - b' · a) : b²

y' (x) = ((15x⁴) * (2x + 6) - (2) * (3x⁵ + 8)) : (2x + 6)²

Fünfte Ableitungsregel: Einsetzen der Kettenregel

Mithilfe der ersten vier Ableitungsregeln sind einfache Funktionen relativ gut abzuleiten. Kommt es allerdings zu verschachtelten bzw. zusammengesetzten Funktionen sieht es schon wieder anders aus. Denn um beispielsweise eine Funktion wie y = e^6xabzuleiten ist der Einsatz der Kettenregel bzw. Substitution notwendig. Daher sollte man sich folgenden Grundsatz merken:

Bei der Kettenregel erhält mit der Ableitung aus einer verketteten bzw. zusammengesetzten Funktion ein Produkt. Dieses kommt sowohl mithilfe der inneren als auch äußeren Ableitung zustande.

Um zu verdeutlichen, wie die Kettenregel nun genau funktioniert folgt ein Beispiel:

Beispiel: Kettenregel

y = ( 4x - 7 )⁹

Anleitung Schritt für Schritt:

• 1. Schritt: Die Substitution mit v = 4x - 7
• 2. Schritt: Die äußere Funktion mit = v⁹
• 3. Schritt: Die äußere Ableitung mit = 9v⁸
• 4. Schritt: Die innere Funktion mit = 4x - 7
• 5. Schritt: Die innere Ableitung mit = 4
• 6. Schritt: y' = v⁹ · 4 = 4v⁹
• 7. Schritt: v = 4x - 7 daraus folgt y' = 4 ( 4x - 7 )⁹