Nullstelle berechnen - Formeln und Beispiele

Zum Berechnen der Nullstellen gibt es unterschiedliche Methoden, die immer von der Funktion f abhängig sind. Die nun folgenden Methoden zur Berechnung beinhalten sowohl eine Erklärung als auch mindestens ein Beispiel.

Die Nullstelle einer linearen Funktion

Lineare Funktionen sind folgendermaßen aufgebaut: y = mx + a

Beispiele:

f(x) = y = 3x + 9
f(x) = y = 51x + 46

Zur Berechnung der Nullstelle setzt man die Funktion f(x) = 0. Folgt man dieser Methode ergeben sich die nun folgenden Ergebnisse für die Nullstellen:

0 = 3x + 9 | - 9
- 9 = 3x | : 3
- 3 = x

0 = 51x + 46 | - 46
- 46 = 51x | : 51
- 0,90 = x

Die Nullstelle einer quadratischen Funktion

Bei quadratischen Gleichungen wie beispielsweise x²+ 2x + 1 = 0 wird immer nach x aufgelöst, sodass die sogenannte PQ-Formel zur Anwendung kommt. Das bedeutet man hält sich für die Gleichung an die Formel x² + px + q = 0, sodass sich die Lösung mit folgender Formeln ergibt:

Die quadratische Gleichung wird Schritt für Schritt gelöst:

1. Die Gleichung wird erst einmal in die Form x² + px + q = 0 gebracht
2. Sowohl „p“ als auch „q“ werden herausgefunden
3. Einsetzen in die PQ-Formel
4. Berechnung der PQ-Formel

Beispiel:

1. Schritt:

2x²+ 16x + 4 = 0 | : 2
x²+ 8x + 2 = 0

2. Schritt:

p = 8 und q = 2

3. Schritt:

4. Schritt:

x_1/2 = - 4 ± √14
x₁ = - 4 + 14 = 10
x₂ = - 4 - 14 = - 18

Beim Berechnen der quadratischen Gleichung mithilfe der PQ-Formel gilt es zwei überaus wichtige Dinge im Auge zu behalten. Diese sind:

1. Sollte die berechnete Zahl unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen besitzen kann die Berechnung abgebrochen werden. Denn die vorliegende Gleichung besitzt für Schüler letzten Endes keine Lösung (bei Studenten sieht das Ganze wiederum mittels imaginärer Rechnungen wieder anders aus).
2. Immer auf das Vorzeichen achten. Liegt zum Beispiel die Gleichung x² - 5x + 3 = 0 vor, dann steht - 5 für p. Das bedeutet auch, dass - 5 in die PQ-Formel eingesetzt werden muss.

Die Nullstelle einer Funktion höheren Grades

Für die Berechnung der Nullstellen von Polynomen wird stets auf die Polynomdivision zurückgegriffen. Die Polynomdivision zeigt dabei starke Ähnlichkeiten zur schriftlichen Division, sodass mit dem nun folgenden Beispiel die schriftliche Division kurz verdeutlicht wird. Anschließend erfolgt die genauere Erläuterung der Polynomdivision.

Beispiel einer schriftlichen Division

420 : 2 = 210
-4
---
02
-2
---
00
0
---
0

Anleitung:

Folgende Vorgehensweise sollte dabei beachtet werden:

1. Ziel der schriftlichen Division ist das Ergebnis aus 420 : 2 herauszufinden.
2. Bei der ersten Zahl handelt es sich um eine 4, die durch 2 geteilt wird. Die erste Zahl der Lösung ist daher eine 2.
3. Nun wird 2 · 2 = 4 gerechnet. Die 4 wird direkt unter der vorherigen 4 aufgeschrieben.
4. Beide Zahlen werden anschließend voneinander abgezogen, sodass eine 0 hervorgeht.
5. Die nächste Zahl wird nun heruntergeholt, das bedeutet in diesem Fall die Zahl 2.
6. Es kommt erneut zur Teilung von 2 : 2 = 1. Die zweite Zahl der Lösung ist also eine 1.
7. Nun folgt die Rückrechnung mit 1 · 2 = 2. Wie bereits bei der 4 wird auch die 2 unter die vorherige 2 notiert.
8. Beide Zahlen werden voneinander abgezogen: 2 - 2 = 0. Demzufolge wird die Null ebenfalls hingeschrieben.
9. Aus der nächsten Teilung, 0 : 2 = 0 geht eine Null hervor, die für die letzte Zahl in der Lösung steht.
10. Es folgt das Rückrechnen mit 0 · 0 = 0 sowie 0 - 0, sodass schlussendlich eine Null zurückbleibt.
11. Es ist keine weitere Zahl vorhanden, die von oben herab geholt werden könnte. Somit ist die Rechnung vollständig beendet.

Die Erklärung der Polynomdivision

Mit der Polynomdivision werden anders als bei der schriftlichen Division nicht nur zwei Zahlen, sondern vielmehr ganze Terme verwendet. Terme schließen dabei sowohl Klammern, Symbole, Variablen als auch Zahlen ein.
Damit überhaupt eine Polynomdivision durchgeführt werden kann, wird eine Nullstelle des betreffenden Terms benötigt. Das Herausfinden einer solchen Nullstelle kann sich in den meisten Fällen als recht schwierig gestalten, weshalb viele Lehrerinnen und Lehrer die jeweilige Nullstelle bereits in der Aufgabenstellung angeben. Wird allerdings keine Nullstelle erwähnt, kann man entweder das numerische Verfahren anwenden oder einfach Raten.

Zur Veranschaulichung wie eine Polynomdivision genau funktioniert folgt nun ein ausführliches Beispiel.

Beispiel einer Polynomdivision

Gegeben: f(z) = y = z³ - 2z² - 5z + 6; Nullstelle: z = 1
Gesucht: alle weiteren Nullstellen

f(z) = y wird durch ( z - 1 ) dividiert!

( z³ - 2z² - 5z + 6 ) : ( z - 1 ) = z² - z - 6
- (z³ - z²)
------------
- z² - 5z
- ( - z² + z)
--------------
- 6z + 6
- ( - 6z + 6 )
--------------
0

Es kommt zur Division von z³ : z = z², sodass z² mit ( z - 1 ) multipliziert wird. Daraus ergibt sich z³ - z², sodass ( z³ - 2z² ) - ( z³ - z² ) berechnet werden können. Anschließend fängt das Ganze wieder von vorn an. Das schlussendliche Ergebnis sollte dann z² - z - 6 lauten. Mithilfe der darauffolgenden Probe lässt sich dann feststellen, ob die Lösung auch tatsächlich stimmt.

Probe: ( z² - z - 6 ) · ( z - 1 ) = z³ - 2z² - 5z + 6  (Lösung stimmt!)

Zur Berechnung der restlichen Nullstellen kann dann auf z² - z - 6 die PQ-Formel angewendet werden. So sollten anschließend die Nullstellen z₂ = 3 und z₃ = - 2 herauskommen. Da die Nullstellen - 2, 1 und 3 nun bekannt sind, lässt sich das vorliegende Polynom in seine sogenannten Linearfaktoren zerfallen: f(z) = ( z - 1) ( z - 3 ) ( z + 2 ). Zur Überprüfung des Ergebnisses ist auch hier eine Probe empfehlenswert.

Probe: ( z - 1 ) ( z - 3 ) ( z + 2 ) = z³ - 2z² - 5z + 6 (Lösung stimmt!)