Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, ist eine Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen. Ihren Namen verdankt sie dem Umstand, dass sie als so wichtig angesehen wird, dass jeder Schüler sie auch um Mitternacht im Schlaf auswendig kennen sollte. Sie ähnelt der PQ-Formel, mit der dieselben Ergebnisse berechnet werden können.

Mit der abc-Formel können die Nullstellen einer Funktion berechnet werden, daher genau die Stellen, bei denen y = 0 ist. Der Funktionsverlauf schneidet dort die x-Achse. Ob die quadratische Gleichung eine, zwei oder gar keine Nullstellen hat, hängt von dem ab, was unter der Wurzel steht.

Wie geht man bei der Berechnung vor?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable x kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx + c = 0

Zu beachten ist, dass a dabei nicht 0 sein darf.

Um diese Gleichung lösen zu können, wird die Mitternachtsformel verwendet, die wie folgt aussieht:

  • Positive Form: X1 = -b + √b2 - 4ac / 2a
  • Negative Form: X2 = -b - √b2 - 4ac / 2a

Diskriminante

Als Diskriminante wird der Term unter der Wurzel bezeichnet, der eine Aussage über die Lösbarkeit der Gleichung macht.

D (Diskriminante) = b2 - 4ac

  • wenn D > 0 ist, dann existieren zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2
  • wenn D = 0 heraus kommt, so gibt es eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2)
  • wenn D < 0 ist, existiert keine reelle Lösung

Anleitung zur Berechnung

Es folgt nun eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Verwendung der Mitternachtsformel:

  1. Schritt: die Startgleichung aufschreiben
  2. Schritt: Die Gleichung Null setzen. Das bedeutet sie derart umzuwandeln, dass auf einer Seite (meistens rechts) nur noch eine 0 steht.
  3. Schritt: Herausfinden welche Werte für a, b und c in die Formel eingesetzt werden können
  4. Schritt: Die Berechnung der Lösung mit einem + vor der Wurzel
  5. Schritt: Die Berechnung der Lösung mit einem – vor der Wurzel

Beispiel mit zwei Nullstellen

Im Folgenden wird ein Beispiel mit zwei Nullstellen zur Berechnung präsentiert:

  1. Schritt: 2x²- 5 = 0 - 3x
  2. Schritt: 2x² - 5 = 0 - 3x / + 3x = 3x² + 3x - 5 = 0
  3. Schritt: a = 2, b = 3, c = -5
  4. Schritt: X1 = (-3 + √32-4x2x (-5)) / 2x2

X1= (-3+√49) /4

X1 = (-3 + 7) / 4

X1 = 1

  1. Schritt: X2= (-3 - √32 - 4 * 2x [-5]) / 2x²

X2= (-3 - √49) / 4

X2 = (-3 - 7) / 4

X2 = -10 / 4 -> 5/2

Beispiel ohne Nullstellen

  1. Schritt: 2x² + 3x + 30 = 0
  2. Schritt: 2x² + 3x + 30 = 0
  3. Schritt: a = 2, b = 3, c = 30
  4. Schritt: X1 = (-3 + √32 - 4x² x 30) / 2x²

X1 = -3 + √-231 / 4 --> keine Lösung!

  1. Schritt: X2 = (-3 - √32 - 4x² x 30) / 2x²

X2= -3 - √-231 / 4 -> Keine Lösung!

Wo findet die Formel Anwendung?

Die Mitternachtsformel hat einen hohen Stellenwert in der Algebra und dient über den mathematischen Bereich hinaus, auch zu Berechnungen innerhalb der Physik und der Chemie.

Im Englischen wird die Mitternachtsformel "Quadratic formula" genannt. Eine direkte Übersetzung als "Midnight formula" existiert nicht.

Mitternachtsformel - abc-Formel - Berechnung & Beispiele

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