In der Mathematik gibt es drei binomische Formeln.

  • Erste Formel: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
  • Zweite Formel: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
  • Dritte Formel: ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

Die binomischen Formeln helfen in der Mathematik bei der Berechnung von Gleichungen.

Zur leichteren Berechnung bestimmter Gleichungen führten Mathematiker die bekannten drei binomischen Formeln ein. Drei Formeln die insbesondere bei Schülern für viel Kopfzerbrechen statt Erleichterung sorgen. Doch wie heißt es so schön? Aller Anfang ist schwer und bekanntlich macht Übung ja den Meister.

Jemand der sich mit Klammerberechnungen auskennt benötigt im Grunde die drei binomischen Formeln überhaupt nicht. Sind einem die Rechengesetze nämlich bekannt, wird klar, dass sich alle drei Formeln zwangsläufig aus diesen Gesetzen ergeben. Doch warum nimmt man dann die binomischen Formeln in der Schule überhaupt durch? Ganz einfach, sie erleichtern jedem Mathematiker in Form einer Abkürzung das Leben.

Um daher die binomischen Formeln verstehen zu können sind Kenntnisse der Klammerrechnung notwendig. Dazu gehören:

  • Ausmultiplizieren von Klammern
  • Punkt vor Klammer bzw. vor Strich

Die erste binomische Formel

Bei der ersten binomischen Formel ist das Ausmultiplizieren der Klammer wichtig. Infolgedessen lautet die erste binomische Formel folgendermaßen:

( x + y ) ² = x² + 2xy + y²

Die Herleitung: ( x + y ) ² = ( x + y ) · ( x + y ) = x² + xy + yx + y² = x² + 2xy + y²

Die Herleitung ist vor allem bei der Frage, woher die Formel überhaupt kommt, überaus hilfreich. So zeigt sie auf dem einfachsten Weg, wie das Ausmultiplizieren der Klammer funktioniert. Zur Veranschaulichung folgen nun zwei Beispiele, die beim Verständnis der ersten binomischen Formel helfen sollten.

  1. Beispiel: ( 5 + 6 ) ² = 52 + 2 · 5 · 6 + 62 = 25 + 60 + 36 = 121
  2. Beispiel: ( 8 + 9 ) ² = 82 + 2 · 8 · 9 + 92 = 64 + 144 + 81 = 289

Ein kleiner Tipp am Rande: Bei Betrachtung der binomischen Formel überlegen, was x und y ist. Anschließend können die Zahlen für x und y eingesetzt werden. Zur Verdeutlichung die oben genannte erste binomische Formel mit den beiden folgenden Beispielen vergleichen.

Die zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel ist ähnlich aufgebaut wie die erste, nur dass das Plus durch ein Minus ersetzt wird. So setzt sich die zweite binomische Formel folgendermaßen zusammen:

( x - y )² = x² - 2xy + y²

Die Herleitung: ( x - y ) ² = ( x - y ) · ( x - y ) = x² - xy - yx + y² = x² - 2xy + y²

Letztlich geht es hierbei um die Differenz in der vorhandenen Klammer. Diese sollte zum einen erkannt und zum anderen eingesetzt werden. Zur Veranschaulichung folgen auch hier zwei explizite Beispiele.

  1. Beispiel: ( 7 - 3 ) ² = 72 - 2 · 7 · 3 + 32 = 49 - 42 + 9 = 16
  2. Beispiel: ( 8 - x ) ² = 82 - 2 · 8 · x + x² = 64 - 16x + x²

Die dritte binomische Formel

Bei der dritten und letzten binomischen Formel werden insgesamt zwei Klammern miteinander multipliziert, sodass sich folgende Formel daraus ergibt:

( x + y ) · ( x - y ) = x² - y²

Die Herleitung: ( x + y ) · ( x - y ) = x² - xy + yx - y² = x² - y²

Die dritte binomische Formel wird ausschließlich im Falle zweier Klammern angewendet. Wichtig ist dabei, dass sich in der zweiten Klammer nur die Variable verändert. Um das Vorgehen bei einer dritten binomischen Formel zu verdeutlichen, folgen zwei Beispiele.

  1. Beispiel: ( x + 4 ) · ( x - 4 ) = x² - 42 = x² - 16
  2. Beispiel: ( 7 + y ) · ( 7 - y ) = 72 - y² = 49 - y²

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