Polynomdivision - Formeln und Beispiele

Die Polynomdivision führt bei einigen Schülerinnen und Schülern zu enormen Problemen. Aus diesem Grund sollen die nun folgenden Abschnitte die Polynomdivision auf die einfachste Art erklären.

Das mathematische Verfahren Polynomdivision wird zur Berechnung von Nullstellen bezüglich Polynomen angewendet. Dabei zeigen sich Ähnlichkeiten zur schriftlichen Division, welche bereits in den frühen Grundschuljahren durchgenommen wurde.

Die Erklärung der Polynomdivision

Anders als bei der Division aus Grundschulzeiten werden bei der Polynomdivision ganze Terme dividiert. Dabei beinhalten Terme sowohl Zahlen, Symbole, Variablen als auch Klammern. Zur Durchführung einer Polynomdivision wird daher zum einen ein Term benötigt und zum anderen eine bekannte Nullstelle des Terms. Der genaue mathematische Begriff lautet dabei Polynome. Infolgedessen kommt es zur Division zweier Polynome, sodass sich daraus der Name Polynomdivision ergibt.

Das Finden der Nullstelle ist in den meisten Fällen relativ schwierig. Oftmals geben die Lehrer bereits eine Nullstelle vor, geschieht dies nicht, kann die Nullstelle des Terms auch mithilfe eines numerischen Verfahrens oder durch Raten ermittelt werden.

Beispiel 1:

Gegeben: Funktion f(z) = z³ - 2z² - 5z + 6 und Nullstelle z = 1

Gesucht: Alle Nullstellen von f(z)

Lösung: Polynomdivision; die Funktion f(z) wird durch ( z - 1 ) dividiert

( z³ - 2z² - 5z + 6 ) : ( z - 1 ) = z² - z - 6

- ( z³ - z² )

---

- z² - 5z
- ( - z² + z )

---

- 6z + 6
- ( - 6z + 6 )

---

0

Rechenweg:

1. Schritt: Division z³ : z = z²
2. Schritt: Multiplikation z² · ( z - 1 ) = z³ - z²
3. Schritt: Berechnung ( z³ - 2z² ) - ( z³ - z² ) = - z²

Diese drei Schritte werden solange durchgeführt bis die Division komplett durchgerechnet wurde. Das abschließende Ergebnis sollte dann z² - z - 6 lauten.

Zur Überprüfung des Ergebnisses kann dann eine Probe durchgeführt werden:

( z² - z - 6 ) · ( z - 1 ) = z³ - 2z² - 5z + 6

(Lösung stimmt)

Zur Berechnung der restlichen Nullstellen kann dann ganz einfach die PQ-Formel verwendet werden. So erhält man mit z² - z - 6 = 0 die Nullstellen z₂ = 3 sowie z₃ = - 2. Demzufolge lässt sich das Polynom auf die Linearfaktoren zerfallen: f(z) = ( z - 1 ) ( z - 3 ) ( z + 2 ). Mithilfe der abschließenden Probe lässt sich feststellen, ob die Lösung auch tatsächlich stimmt:

( z - 1 ) ( z - 3 ) ( z + 2 ) = z³ - 2z² - 5z + 6 (Lösung stimmt)

Beispiel 2:

Gegeben: Funktion f(z) = 3z³ - 10z² + 7z - 12 und Nullstelle z = 3

Gesucht: Alle Nullstellen von f(z)

Lösung: Polynomdivision; die Funktion f(z) wird durch ( z - 3 ) dividiert

( 3z³ - 10z² + 7z - 12 ) : ( z - 3 ) = 3z² - z + 4

- ( 3z³ - 9z² )

---

- z² + 7z

- ( - z² + 3z )

---

4z + 12

- ( 4z + 12 )

---

0

Rechenweg:

1. Schritt: Division 3z³ : z = 3z²
2. Schritt: Multiplikation 3z² · ( z - 3 ) = 3z³ - 9z²
3. Schritt: Berechnung ( 3z³ - 10z² ) - ( 3z³ - 9z² ) = - z²

Diese drei Schritte werden solange durchgeführt bis die Division komplett durchgerechnet wurde. Das endgültige Ergebnis sollte dann 3z² - z + 4 lauten.

Zur Überprüfung des Ergebnisses die Probe:

( z - 3 ) · ( 3z² - z + 4 ) = 3z³ - 10z² + 7z - 12

(Lösung stimmt)

Anschließend die PQ-Formel verwenden, sodass man mit 3z² - z + 4 = 0 eine unter der Wurzel liegende negative Zahl erhält. Infolgedessen endet zu diesem Zeitpunkt die Berechnung, sodass die alleinige Nullstelle bei z = 3 liegt.