Bruchrechnen - Formeln und Beispiele

Bruchzahlen

Die Begriffe, die wir für Brüche verwenden, sind der "Zähler" und der "Nenner". Der Zähler ist die Anzahl der Teile, die wir haben und der Nenner ist die Gesamtzahl der Teile, die das Ganze ausmachen.

• Der Zähler wird mit Kardinalzahlen gelesen: eins, zwei, drei, zehn, vierundzwanzig, etc.
• Der Nenner wird mit Bruchzahlen gelesen: Halbe, Drittel, Viertel, etc.

Addieren

Summenwert von Brüchen ermitteln: Beim Bruchrechnen wird zwischen Summen mit gleichem und ungleichem Nenner unterschieden.

Summe der Brüche mit dem gleichen Nenner:

Um Brüche mit dem gleichen Nenner zu addieren, muss man die Zähler hinzufügen und den gleichen Nenner verwenden.

Beispiel:

Rechnung: 3/4 + 2/4

Da die beiden Brüche den gleichen Nenner haben, müssen wir den gleichen Nenner, nämlich 4, behalten und die Zähler hinzufügen.

4 + 2 = 5

Und das Ergebnis der Summe der Brüche ist: 3/4 + 2/4 = 5/4

Summe der Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, muss man zuerst einen gemeinsamen Nenner finden: Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, die man hat. Dann werden die Zähler mit der Zahl multipliziert, mit der wir den Nenner multipliziert haben. Schließlich fügen wir die Zähler hinzu, die wir erhalten haben und behalten den gleichen Nenner.

Beispiel:

Rechnung: 2/3 + 4/5

Das erste, was man tun muss, ist, einen gemeinsamen Nenner zwischen 3 und 5 zu finden. Um dies zu tun, berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache zwischen beiden Zahlen.

3 * 5 = 15

15 ist also der gemeinsame Nenner der beiden Brüche.

Jetzt müssen wir jeden Zähler mit der Zahl multiplizieren, mit der wir den Nenner multipliziert haben. Dazu dividieren wir das kleinste gemeinsame Vielfache durch den Anfangsnenner und multiplizieren das Ergebnis mit dem Zähler dieser Teilmenge.

Für den ersten Bruchteil:

15 / 3 = 5

5 x 2 = 10

10 ist also der Zähler des ersten Teilstücks.

Für den zweiten Bruchteil:

15 / 5 = 3

3 x 4 =12

12 ist also der Zähler der zweiten Teilmenge.

2/3 + 4/5 = 10/15 + 12/15

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler addieren:

10 + 12 = 22

Und das Ergebnis der Summe der Brüche ist 22/15

Subtrahieren

Differenz von Brüchen ermitteln: Auch beim Subtrahieren von Brüchen ist der Nenner entscheidend:

Wenn die Bruchzahl den gleichen Nenner hat:

Man schreibt den Nenner, den die Brüche im letzten Bruchteil haben. Ziehen Sie die Zähler ab und schreiben Sie die Lösung in den letzten Bruchteil.

Beispiel:

7/3 - 2/3 = 5/3

Wenn die Brüche einen verschiedenen Nenner haben:

Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche. Beginnen Sie, die neuen Ersatzbruchzahlen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Nenner dieser neuen Bruchzahlen zu erstellen. Der zweite Bruch soll den gleichen Nenner haben wie die anderen Brüche. Subtrahieren Sie die Zähler und schreiben Sie die Lösungen im letzten Bruchteil auf.

Beispiel:

2/3 - 5/3 wird zu 10/15 - 9/15 = 1/15

Multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, müssen nur folgende Schritte beachtet werden:

1. Vereinfachen Sie die Brüche: Jeder Zähler kann mit jedem beliebigen Nenner vereinfacht werden.
2. Multiplizieren Sie Brüche in einer Zeile: Multiplizieren Sie die Nenner, um den endgültigen Nenner zu erhalten und multiplizieren Sie die Zähler, um den endgültigen Zähler zu erhalten.

Beispiel:

4/8 * 15/9

Zuerst sollten wir die Brüche vereinfachen, damit sie sich danach leichter multiplizieren lassen. Um das Ganze zu vereinfachen, werden wir also jede Zahl in ihre Hauptfaktoren zerlegen.

4 = 2 * 2

8 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2

15 = 3 * 5

9 = 3 * 3

Und wir ersetzen jede Zahl in den Brüchen durch ihre Hauptfaktoren.

4/8 * 15/9 = 2 * 2/2 * 2 * 2 * 3 *5/3 *3

Jetzt vereinfachen wir es und streichen die Zähler und Nenner, die gleich sind. Und das Ergebnis der Multiplikation, das 5/6 ist, bleibt uns dann noch übrig.

Wie man eine Multiplikation von Brüchen mit einer ganzen Zahl durchführt:

Das Multiplizieren eines Bruchteils mit einer ganzen Zahl ist sehr einfach, wir machen einfach die ganze Zahl zu einem Bruch, indem wir 1 als Nenner setzen.

Beispiel:

3/6 * 7

Der Bruch 3/6 kann vereinfacht werden, wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, indem er in seine Primfaktoren zerlegt wird und auf 1/2 gekürzt werden kann.

Wir machen die ganze Zahl 7 zu einem Bruch, indem wir eine 1 als Nenner setzen: 7/1.

Jetzt vervielfältigen wir die Nenner: 2 * 1 = 2.

Wir multiplizieren die Zähler: 1 * 7 = 7

Auf diese Weise erhalten wir die Bruchzahl 7/2.

3/6 * 7 = 3/3 * 2 * 7/1 = 7/2

Dividieren

Umkehren und Multiplizieren:

• Schritt 1: Den zweiten Bruch umkehren. Das heißt, tauschen Sie den Zähler gegen den Nenner.
• Schritt 2: Vereinfachen Sie jeden Zähler mit einem beliebigen Nenner.
• Schritt 3: Multiplizieren Sie die Werte.

Beispiel:

12/5 : 6/4

• Schritt 1: Wir tauschen den zweiten Bruch: 6/4. Das wird 4/6.
• Schritt 2: Wir vereinfachen die Zähler mit den Nennern.

Die Zähler sind:

12 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3

4 = 2 * 2

Die Nenner sind:

5 = 5

6 = 2 * 3

Wir können sowohl von Zähler als auch Nenner eine 2 und eine 3 vereinfachen und nennen diesen Prozess "Kreuzmultiplizieren", wenn ein Zähler einen gemeinsamen Faktor mit dem anderen Nenner aufzeigt.

Und dann multiplizieren wir:

12/5 * 6/4 = 12/5 * 4/6 = 2 * 2 * 2/5 * 2 * 2/2 * 3 = 8/5

Eine weitere Methode: über Kreuz multiplizieren

Dieses Verfahren umfasst das Multiplizieren des Zählers der ersten Bruchzahl mit dem Nenner der zweiten Bruchzahl und das anschließende Eintragen der Antwort in den Zähler der resultierenden Bruchzahl. Als nächstes multiplizieren wir den Nenner der ersten Fraktion mit dem Zähler der zweiten Fraktion und schreiben die Lösung dann in den Nenner der resultierenden Bruchzahl.