Der Sinussatz gehört in der Trigonometrie zu den wichtigsten Sätzen, um Seiten und Winkel in einem Dreieck zu bestimmen. Er ist insbesondere für nicht-rechtwinklige Dreiecke von Bedeutung und stellt eine Verbindung zwischen den Seitenlängen und den Winkeln eines Dreiecks her. Der Sinussatz lautet:
Rechner
Tangens berechnen (tan):
Bogenmaße:
oder Winkel:
Sinus berechnen (sin):
Bogenmaße:
oder Winkel:
Cosinus berechnen (cos):
Bogenmaße:
oder Winkel:
Alle Angaben sind ohne Gewähr
Rechner verwenden:
- Gib das Bogenmaß der Gegenkathete und der Hypotenuse in den Rechner ein.
- Alternativ kannst du auch die Winkelgrad eingeben.
- Klicke auf "berechnen", um das Ergebnis zu erhalten.
Grundprinzip des Sinussatzes
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c sowie den gegenüberliegenden Winkeln α, β und γ.
Der Sinussatz lautet:
Dies bedeutet, dass das Verhältnis einer Seitenlänge zu dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten-Winkel-Paare gleich ist.
Anwendungen des Sinussatzes
- Bestimmung einer fehlenden Seitenlänge: Wenn zwei Seiten und ein Winkel eines Dreiecks gegeben sind, kann die dritte Seitenlänge berechnet werden, indem man den Sinussatz umstellt.
- Bestimmung eines fehlenden Winkels: Wenn alle drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben sind, kann ein fehlender Winkel mithilfe des Sinussatzes berechnet werden.
- Überprüfung der Existenz eines Dreiecks: Der Sinussatz kann auch genutzt werden, um zu überprüfen, ob ein Dreieck mit gegebenen Seitenlängen und Winkeln überhaupt existieren kann.
Vorteile des Sinussatzes
- Er ist universell für alle Dreiecke anwendbar, nicht nur für rechtwinklige.
- Ermöglicht einfache Berechnungen selbst bei komplexen Dreiecksproblemen.
- In Kombination mit anderen trigonometrischen Sätzen können viele geometrische Probleme gelöst werden.
Beispiel zur Anwendung
Angenommen, wir haben ein Dreieck ABC mit gegebenen Seitenlängen a = 7 cm und b = 9 cm sowie einem Winkel α = 45°. Wie groß ist der Winkel β?
Unter Verwendung des Sinussatzes:
Setzen wir die Werte ein und lösen nach β auf, erhalten wir:
Durch Einsetzen der gegebenen Werte und Berechnung von β mit dem Arkussinus erhält man den Wert des Winkels β.
Fazit
Der Sinussatz ist ein mächtiges Werkzeug in der Trigonometrie, das eine effiziente Bestimmung von Seitenlängen und Winkeln in einem Dreieck ermöglicht. Durch sein Verständnis und seine Anwendung können viele Probleme der Geometrie gelöst werden. Es ist essentiell, den Sinussatz neben anderen wichtigen trigonometrischen Sätzen im Repertoire zu haben.